Смысл формулы метод множителей Лагранжа





Здравствуйте Александр второй день бьюсь над пониманием геометричиского смысла формула метод множителей Лагранжа но так и не понял алгоритом вывода этой формулы по этому буду очень признателен если прольете свет на не понятные моменты мешающие вникнуть в тонкости работы алгоритом формулы урока Условные экстремумы и метод множителей Лагранжа .  Пример 1 Найти условные экстремумы функции  при указанном уравнении связи на аргументы x , y , z=5-3x-4y , x^2+y^2=25 .  Цитирую из википедия " необходимым условием экстремума в рассматриваемом случае будет совпадение касательных. Чтобы записать его в аналитической форме, заметим, что оно эквивалентно параллельности градиентов функций {\\\\displaystyle f} f и {\\\\displaystyle \\\\psi } \\\\psi  в данной точке, поскольку вектор градиента перпендикулярен касательной к линии уровня " . И сразу вопрос № 1 как понимать вычисление градиента x^2+y^2=25 ведь это функция одной переменной в не явном виде следовательно приращенее аргумента по x и y не имеет смысол для поиска приращения функции по z потому что его быть не может а значит градиента быть не может . Но статья говорит что он есть и после такого заявления у меня каша в голове .  Вопрос №2 в чем геометрический смысол записи L=5-3x-4y+л(x^2+y^2-25) и ее производных ? Производные первой чясть записи очевидно это тангенс касательной первой функции по диференцируемой оси но что означает л(x^2+y^2-25) не понятно , как и то почему оно диференцируется будто это функция 2 переменных ( то бишь z зависит от x и y ) ведь по факту z в ней отсутствует . Производные в скобках выщитаны как 2x и 2y соответственно но по 3d чертежу видно что в точьки пересечения функций такие касательные вставить просто не куда .  Я читал много уроков сайта и более не понятной и противоречивой формулы не припомню . Чтение теории запутало меня и усугубило понимание материала по этому пишу сюда , спасибо за внимание . 


Всего: 1 комментарий.
Добавить комментарий

Александр Емелин    03.05.2018 в 10:52
Здравствуйте, Эдуардо. У меня действительно не рассмотрена теория условных экстремумов, и, очевидно, вы имеете ввиду статью:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0
Поясню геометрию конкретной задачи, которая поможет вам разобраться в теме.
Итак, что у нас есть?

1) Функция f(x,y)=5-3x-4y, которая задаёт плоскость в пространстве:
http://mathprofi.ru/poverhnosti.html
Её линии уровня 5-3x-4y = const представляют собой семейство прямых на плоскости XOY.

2) Уравнение x^2+y^2=25 (z - любое) задаётся эллиптический (в данном случае круговой) цилиндр, параллельный оси OZ:
http://mathprofi.ru/poverhnosti.html - обязательно найдите и посмотрите его чертёж!
Данный цилиндр имеет единственную линию уровня фи(x, y) =0 - это его проекция на плоскость XOY:
S: x^2+y^2=25 - окружность с центром в начале координат радиуса 5.

Несмотря на то, что уравнение цилиндра не имеет функционального вида z=g(x,y), градиент здесь, видимо, определяется так:
grad = (фи'x(x,y), фи'y(x,y))
в данном случае:
grad = (2x, 2y)

Признаться, точно не знаю, но предполагаю следующую вещь: в каждой точке окружности x^2+y^2=25 несвободный вектор grad = (2x, 2y) перпендикулярен касательной к окружности в этой точке. Такое направление градиентных векторов может символизировать тот факт, что наискорейшие пути вверх по цилиндрической поверхности строго параллельны оси OZ.